[科普中国]-完全平方式

完全平方式是指如果满足对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B^2的条件话，则称A是完全平方式，亦可表示为(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。

定义及公式

完全平方公式1：

（1）两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍，即

（2）两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍，即

（a－b）²=a²+b²－2ab

熟记口诀：首平方，尾平方，前后两倍放中央，符号看前方。

这两个公式的结构特征：1）左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2）左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）；3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式。

例子

（1） 是一个完全平方式，因为 ；

（2） 是一个完全平方式，因为 ；

（3）因为 ，所以 是一个完全平方式。

可以推出，

注意

（1）以上多项式，指的都是实系数多项式。所以不能称 为完全平方式，因为不存在以 、 为变元的实系数多项式 ，使 。

（2）以上所说多项式，都是简单变元的多项式，不能随便称一个代数式或三角函数式为完全平方式。例如

①尽管有 ，但是因为这里 和 都不是多项式，所以代数式 不能被称为完全平方式。

②尽管有 ，但是 也不能被称为完全平方式。

准完全平方式导言

如果把①改写为 ，并将其中的 记为 ，这里 是一个复合变元。

类似地在②中记 ， ；在③中记 ， 。那么 、 和 、 都是复合变元。

定义

若对于函数式 ，存在关于复合变元 的多项式 ，使 成立，则称 是“准完全平方式”。(这里 、 、……、 不全是简单变元的多项式)。

例子

按照定义，上述①和② 都被称为“准完全平方式”。

这里所以要有 不全是简单变元的多项式”的加注说明，主要为了区别出某些形式上貌似“准完全平方式”，但是本质上却是一个典型的“完全平方式”的情况。

本词条内容贡献者为:

刘军 - 副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所